Manejo de los números.
¿Por qué es necesario el conocimiento matemático en las ciencias físicas?
Al expresar las ideas científicas en el leguaje matemático estas pierden las ambigüedades personales que cada persona hace de los conceptos científicos, de modo que al matematizar un concepto científico este queda definido de manera precisa para todo el mundo, recordar el concepto y su verificación de validez se hace más fácil y se puede evitar cualquier confusión debida a interpretaciones privadas.
A lo largo del estudio de las ciencias naturales es necesario el manejo de los números y la resolución de ecuaciones matemáticas que representan los conceptos físicos. Es por esta razón que este apartado se inicia mostrando un poco del manejo de los números.
Podría decirse que la física es la rama de las ciencia que estudia la naturaleza a través de conocimientos matemáticos
Cantidades exactas y aproximadas.
Una cantidad matematica es cierto número de un algo. Se dice que una cantidad es aproximada si difiere ligeramente de una cantidad exacta. Por lo general en ciencias las cantidades que se manejan suelen ser aproximadas, debido a su tamaño (cantidades muy grandes o muy pequeñas). Si la cantidad aproximada está por debajo del valor tomado como exacto se dice que está aproximada por defecto y si tiene un valor mayor se dice que está aproximada por exceso. Por ejemplo, cuando se escribe \(2/3\approx0.67\) la cantidad exacta es \(2/3\) mientras que \(0.67\) es la cantidad aproximada por exceso.
Notación en potencias de diez.
En ciencias se utilizan números que por lo general son muy grandes o muy pequeños, por lo que es conveniente y útil expresar estos números como potencias de diez. algunos ejemplo de esto son:
\begin{align}
&123\ 456=1.23456\times{10}^5\\
&1\ 385\ 623\ 456=1.385623456\times{10}^9\\
&0.000\ 003\ 5=3.5\times{10}^{-6}\\
&1km=1\ 000m\Longrightarrow1km={10}^3m\\
&1\ \mathrm{nanometro}=0.000\ 000\ 001m\Longrightarrow1nm={10}^{-9}m\\
&\mathrm{Masa~ de~ un~ electrón~} 9.11\times{10}^{-31}\ kg\\
&\mathrm{Masa~ del~ Sol~} 1.99 \times{10}^{30}kg
\end{align}
¿Podría leer estas cantidades si estuvieran escrita con todos los ceros?
Notación científica.
En ciencias se utilizan números que por lo general son muy grandes o muy pequeños, y por tanto es útil expresar estos números como potencias de diez, algunos ejemplos de esto son:
\begin{align}
&\mathrm{Masa~ del~ Sol~} \approx1.99\cdot10^{30}kg\\
&\mathrm{Masa~ de~ la~ Tierra~} \approx5. \cdot{10}^{24}kg\\
&\mathrm{Masa~ de~ un~ electrón}~ \approx9.11\cdot{10}^{-31}kg\\
&\mathrm{Masa~ de ~un~ protón~} \approx1.67\dot{10}^{-27}kg\\
&\mathrm{Carga~ de~ un~ electrón}~ \approx-1.60\cdot{10}^{-19}C\\
&\mathrm{Carga~ de~ un~ protón~} \approx1.60\cdot{10}^{-19}C\end{align}
Como puede notar escribir estas cantidades de manera convencional sería un tanto tedioso, sin embargo, al escribirlas como un producto se dice que una cantidad está en notación científica cuando se escribe en la forma \(c\times{10}^n\) donde \(1\le c< 10\) (uno es menor o igual que \(c\) y \(c\) menor que diez), pero ¿cómo se determinan estos resultados?
Para una cantidad \(c\) cualquiera se tiene:
$$c\times\frac{{10}^n}{{10}^n}=c\ \mathrm{por ~ser~} \frac{{10}^n}{{10}^n}=1 ~\mathrm{que~es~el~elemento~neutro}.$$
De modo que, para escribir una cantidad en notación científica, se necesita multiplicar y dividir por \({10}^n\) para que no se altere la cantidad.
Si la cantidad es menor que uno, la acción para tener \( c\times{10}^n\) la ejerce el numerador y si es mayor que uno el denominador.
Ejemplo 1. Expresar en notación científica las cantidades siguientes. \begin{align} &a.~ 230\ 000\ 000\ \Longrightarrow2.3\times{10}^8\\ &b.~ 0.000\ 000\ 0345\Longrightarrow3.45\times{10}^{-8}\end{align} El manejo matemático hecho para esto es como sigue: para que \(230\ 000\ 000\) sea \(2.3\ \times{10}^n\) es necesario dividir entre \({10}^8\) (mover el punto decimal que está en el final ocho lugares a la izquierda) y para que no alterar la cantidad se debe multiplicar también por \({10}^8\). El detalle de este manejo aritmético es como sigue: $$\begin{array}1 230\ 000\ 000=230\ 000\ 000 \times\frac{10^8}{10^8}=\frac{230\ 000\ 000}{10^8}\times10^8\\ 230\ 000\ 000=2.3\times10^8 ~~\mathrm{dividiendo~ y expresando~ la~ multiplicación}. \end{array}$$ De igual forma, $$\begin{array}1 0.000\ 000\ 003\ 45=0.000\ 000\ 003\ 45 \times\frac{10^9}{10^9}=\frac{0.000\ 000\ 003\ 45 \times10^9}{10^9}\\ 0.000\ 000\ 003\ 45=3.45\times10^{-9} \mathrm{multiplicando~y~por~ser~} \frac1{x^n}=x^{-n} \end{array} $$ Como conclusión a esto se dice que al escribir una cantidad en notación científica si se desplaza el punto hacia la izquierda \(n\) lugares, el exponente de la potencia de diez será \(n\). Si se desplaza el punto \(n\) lugares hacia la derecha el exponente de la potencia de diez será \(–n\).
Ejemplo 2. Escribir en notación científica \(440\ 000\ 000\)
Solución: para que \(440\ 000\ 000\) esté entre uno y diez para la forma \(c\times10^n\) es necesario "mover el punto" ocho lugares a la izquierda, de donde,
\begin{align}
&440\ 000\ 000=440 000 000 \times \frac{10^8}{10^8}\\
&440\ 000\ 000=\frac{440\ 000\ 000}{10^8} \times 10^8\\
&440\ 000\ 000=4.4 \times 10^8 \ \ \mathrm{dividiendo}\end{align}
Una propiedad importante de los exponentes que debe ser recordada antes de continuar es,
$$x^{-n}=\frac{1}{x^n}$$
esta propiedad se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3. Escribir en notación científica \(0.000\ 000\ 003\ 45\)
Solución: para que \(0.000\ 000\ 003\ 45\) esté entre uno y diez para la forma \(c\times10^n\) hay que "mover el punto" nueve lugares a la derecha, de donde se tiene,
\begin{align}
&0.000\ 000\ 003\ 45=0.000\ 000\ 003\ 45 \times \frac{10^9}{10^9}\\
&0.000\ 000\ 003\ 45=\frac{0.00000000345 \times 10^9}{10^9}\\
&0.000\ 000\ 003\ 45=\frac{3.45}{10^9}\\
&0.000\ 000\ 003\ 45=3.45 \times 10^{-9}~~\mathrm{por~ ser}~\frac1{x^n}=x^{-n}\end{align}